Решение линейных уравнений с одной переменной. Решение простых линейных уравнений

Класс: 7

Урок № 1.

Тип урока: закрепление пройденного материала.

Цели урока:

Образовательные:

формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным сведением его к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.

Развивающие:

формирование ясности и точности мысли, логического мышления, элементов алгоритмической культуры;
развитие математической речи;
развитие внимания, памяти;
формирование навыков само и взаимопроверки.

Воспитательные:

формирование волевые качества;
формирование коммуникабельность;
выработка объективной оценки своих достижений;
формирование ответственности.

Оборудование: интерактивная доска, доска для фломастеров, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки для коррекции знаний для слабоуспевающих учащихся, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Ход урока

2. Проверка домашнего задания – 4 мин.

Учащиеся проверяют домашнюю работу, решение которой выведено с обратной стороны доски одним из учащихся.

3. Устная работа– 6 мин.

(1) Пока идет устный счет, слабоуспевающие учащиеся получают карточку для коррекции знаний и выполняют 1), 2), 4) и 6) задания по образцу. (См. Приложение 1. )

Карточка для коррекции знаний.

(2) Для остальных учащихся задания проецируются на интерактивную доску: (См. Презентацию : Слайд 2 )

Вместо звездочки поставь знак “+” или “–”, а вместо точек – числа:
а) (*5)+(*7) = 2;
б) (*8) – (*8) = (*4)–12;
в) (*9) + (*4) = –5;
г) (–15) – (*…) = 0;
д) (*8) + (*…) = –12;
е) (*10) – (*…) = 12.
Составь уравнения, равносильные уравнению:
а) х – 7 = 5;
б) 2х – 4 = 0;
в) х –11 = х – 7;
г) 2(х –12) = 2х – 24.

3. Логическая задача: Вика, Наташа и Лена в магазине купили капусту, яблоки и морковь. Все купили разные продукты. Вика купила овощ, Наташа – яблоки или морковь, Лена купила не овощ. Кто что купил? (Один из учащихся, выполнивший задание выходит к доске и заполняет таблицу.) (Слайд 3)

	Вика	Наташа	Лена
К
Я
М

Заполнить таблицу

	Вика	Наташа	Лена
К	+	–	–
Я	–	–	+
М	–	+	–

4. Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению –9 мин.

Коллективная работа с классом. (Слайд 4)

Решим уравнение

12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х). (1)

для этого выполним следующие преобразования:

1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки:

12 – 4х + 18 = 36 + 5х + 28 – 6х. (2)

Уравнения (2) и (1) равносильны:

2. Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесем известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.

Например, перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение

– 4х – 5х + 6х = 36 + 28 – 18 - 12, (3)

равносильное уравнению (2) , а следовательно, и уравнению (1) .

3. Приведем подобные слагаемые:

–3х = 34. (4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3) , а следовательно, и уравнению (1) .

4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном.

Полученное уравнение х = будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1)

Поэтому корнем уравнения (1) будет число

По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:

Раскрыть скобки.
Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.
Привести подобные члены.
Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Примечание: следует отметить, что приведенная схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:

7(х – 2) = 42.

5. Тренировочные упражнения – 8 мин.

№ № 132(а, г), 135(а, г), 138(б, г) – с комментарием и записью на доске.

6. Самостоятельная работа – 14 мин. (выполняется в тетрадях для самостоятельных работ с последующей взаимопроверкой проверкой; ответы будут отображены на интерактивной доске)

Перед самостоятельной работой учащимся будет предложено задание на сообразительность – 2 мин.

Не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одному и тому же участку линии, начертите распечатанное письмо. (Слайд 5)

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры.)

1. Решить уравнения (на карточках) (См. Приложение 2 )

Дополнительное задание № 135 (б, в).

7. Подведение итогов урока – 1 мин.

Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.

8. Сообщение домашнего задания – 2 мин.

п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243(а, б), 224 (Разъяснить содержание домашнего задания).

Урок № 2.

Цели урока:

Образовательные:

повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;
формирование умения применять полученные знания при решении уравнений различными способами.

Развивающие:

развитие интеллектуальных умений: анализа алгоритма решения уравнения, логического мышления при построении алгоритма решения уравнения, вариативности выбора способа решения, систематизации уравнений по способам решения;
развитие математической речи;
развитие зрительной памяти.

Воспитательные:

воспитание познавательной активности;
формирование навыков самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки;
воспитание чувства ответственности, взаимопомощи;
привитие аккуратности, математической грамотности;
воспитание чувства товарищества, вежливости, дисциплинированности, ответственности;
Здоровьесбережение.

а) образовательная: повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;

б) развивающая: развитие гибкости мышления, памяти, внимания и сообразительности;

в) воспитательная: привитие интереса к предмету и к истории родного края.

Оборудование: интерактивная доска, сигнальные карточки (зеленая и красная), листы с тестовой работой, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Форма работы: индивидуальная, коллективная.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

2. Устная работа – 10 мин.

(Задания для устного счета выводятся на интерактивную доску.) (Слайд 6)

1) Решите задачи:

а) Мама старше дочери на 22 года. Сколько лет маме, если им вместе 46 лет
б) В семье трое братьев и каждый следующий младше предыдущего в два раза. Вместе всем братьям 21 год. Сколько лет каждому?

2) Решите уравнения: (Пояснить)

4) Пояснить задания из домашней работы, вызвавшие затруднение.

3. Выполнение упражнений – 10 мин. (Слайд 8)

(1) Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения:

а) x > 1;
б) x < 0;
в) x > 0;
г) x < –1.

(2) При каком значении выражении у значение выражения 2у – 4 в 5 раз меньше значения выражения 5у – 10?

(3) При каком значении k уравнение kx – 9 = 0 имеет корень равный – 2?

Посмотри и запомни (7 секунд). (Слайд 9)

Через 30 секунд учащиеся воспроизводят рисунок на пластиковых листах.

4. Физкультминутка – 1,5 мин.

Упражнение для глаз и для рук

(Учащиеся смотрят и повторяют упражнения, которые проецируются на интерактивную доску.)

5. Самостоятельная тестовая работа – 15 мин.

(Учащиеся выполняют тестовую работу в тетрадях для самостоятельных работ, дублируя ответы в рабочих тетрадях. Сдав тесты, учащиеся сверяют ответы с ответами, отображенными на доске)

Учащиеся, справившиеся с работой раньше всех, помогают слабоуспевающим учащимся.

6. Подведение итогов урока – 2 мин.

– Какое уравнение с одной переменной называется линейным?

– Что называется корнем уравнения?

– Что значит “решить уравнение”?

– Сколько корней может иметь уравнение?

7. Сообщение домашнего задания. – 1 мин.

п.6, № № 294(а, б),244, 241(а, в), 240(г) – Уровень А, В

п.6, № № 244, 241(б, в), 243(в),239, 237– Уровень С

(Разъяснить содержание домашнего задания.)

8. Рефлексия – 0,5 мин.

– Вы довольны своей работой на уроке?

– Какой вид деятельности вам понравился больше всего на уроке.

Литература:

Алгебра 7. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.В. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского. / М.: Просвещение, 1989 – 2006.
Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра 7 класс/ Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В. . Общая ред.: Татур А.О. – М.: “Интеллект-Центр” 2009 – 160 с.
Поурочное планирование по алгебре. / Т.Н.Ерина. Пособие для учителей /М: Изд. “Экзамен”, 2008. – 302, с.
Карточки для коррекции знаний по математике для 7 класса./ Левитас Г.Г. /М.: Илекса, 2000. – 56 с.

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) - линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3 .

Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х - любое число .

Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = - b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.

Линейные уравнения представляют в таком виде:

В общей форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

В канонической форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Линейное уравнение с одной переменной.

Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:

ax + b =0.

Например:

2х + 7 = 0 . Где а=2, b=7;

0,1х - 2,3 = 0. Где а=0,1, b=-2,3;

12х + 1/2 = 0. Где а=12, b=1/2.

Число корней зависимо от a и b :

Когда a = b =0 , значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как .

Когда a =0 , b ≠ 0 , значит, у уравнения нет корней, так как .

Когда a ≠ 0 , значит, у уравнения есть только один корень .

Линейное уравнение с двумя переменными.

Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x) , где A(x) и B(x) — выражения от x . При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения , а все такие значения переменной — корни уравнения.

Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:

В общей форме: ax + by + c = 0,

В канонической форме: ax + by = -c,

В форме линейной функции: y = kx + m , где .

Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y) , которая превращает его в тождество . Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m .

Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется

И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .

Навигация по странице.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Определение.

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

единственный корень при a≠0 ,
не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
Если же a отлично от нуля, то

коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Пример.

Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .

Решение.

В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.

Ответ:

x – любое число.

Пример.

Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?

Решение.

В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.

Уравнение – это равенство, в котором присутствует одна или несколько переменных.
Мы рассмотрим случай, когда в уравнении одна переменная, то есть одно неизвестное число. По сути, уравнение – это вид математической модели . Поэтому в первую очередь уравнения необходимы нам для решения задач.

Вспомним, как составляется математическая модель для решения задачи.
Например, в новом учебном году количество учащихся в школе №5 увеличилось вдвое. После того, как 20 учеников перешли в другую школу, в общей сложности в школе №5 стало учиться 720 учеников. Сколько учащихся было в прошлом году?

Нам нужно выразить то, что сказано в условии математическим языком . Пусть количество учащихся в прошлом году будет X. Тогда согласно условию задачи,
2X – 20 = 720. У нас получилась математическая модель, которая представляет собой уравнение с одной переменной . Если точнее, то это уравнение первой степени с одной переменной. Осталось найти его корень.

Что такое корень уравнения?

То значение переменной, при котором наше уравнение обратится в верное равенство, называется корнем уравнения. Бывают такие уравнения, у которых много корней. Например, в уравнении 2*X = (5-3)*X любое значение X является корнем. А уравнение X = X +5 вообще не имеет корней, так как какое бы мы не подставили значение X, у нас не получится верное равенство. Решить уравнение означает найти все его корни, или определить, что оно не имеет корней. Таким образом, чтобы ответить на наш вопрос, нам нужно решить уравнение 2X – 20 = 720.

Как решать уравнения с одной переменной?

Для начала запишем базовые определения. Каждое уравнение имеет правую и левую части. В нашем случае, (2X – 20) – левая часть уравнения (она стоит слева от знака равенства), а 720 – правая часть уравнения. Слагаемые правой и левой части уравнения называются членами уравнения. У нас членами уравнения являются 2X, -20 и 720.

Сразу скажем про 2 свойства уравнений:

Любой член уравнения можно переносить из правой части уравнения в левую, и наоборот. При этом надо изменить знак этого члена уравнения на противоположный. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X равносильны.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число. Это число не должно быть равно нулю. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 также равносильны.

Воспользуемся этими свойствами для решения нашего уравнения.

Перенесем -20 в правую часть с противоположным знаком. Получим:

2X = 720 + 20. Сложим то, что у нас в правой части. Получим, что 2X = 740.

Теперь разделим левую и правую части уравнения на 2.

2X:2 = 740:2 или X = 370. Мы нашли корень нашего уравнения и заодно нашли ответ на вопрос нашей задачи. В прошлом году в школе №5 было 370 учеников.

Проверим, действительно ли наш корень обращает уравнение в верное равенство. Подставим вместо X число 370 в уравнение 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Все верно.

Итак, чтобы решить уравнение с одной переменной его нужно привести к так называемому линейному уравнению вида ax = b, где a и b – некоторые числа. Затем левую и правую часть разделить на число a. Получим, что x = b:a.

Что означает привести уравнение к линейному уравнению?

Рассмотрим такое уравнение:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.

Это также уравнение с одной неизвестной переменной X. Наша задача привести это уравнение к виду ax = b.

Для этого сначала соберем все слагаемые, имеющие в качестве множителя X в левой части уравнения, а остальные слагаемые - в правой части. Слагаемые, имеющие в качестве множителя одну и ту же букву, называют подобными слагаемыми.

5X - 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

Согласно распределительному свойству умножения мы можем вынести одинаковый множитель за скобки, а коэффициенты (множители при переменной x) сложить. Этот процесс также называют приведением подобных слагаемых.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Мы привели уравнение к виду ax = b, где a = 7, b = 49.

А как мы написали выше, корнем уравнения вида ax = b будет x = b:a.

То есть X = 49:7 = 7.

Алгоритм нахождения корней уравнения с одной переменной.

Собрать подобные слагаемые в левой части уравнения, остальные слагаемые – в правой части уравнения.
Привести подобные слагаемые.
Привести уравнение к виду ax = b.
Найти корни по формуле x = b:a.

Примечание . В данной статье мы не рассматривали те случаи, когда переменная возводится в какую-нибдуь степень. Иначе говоря мы рассматривали уравнения первой степени с одной переменной.