Число решений системы линейных уравнений в зависимости от числа неизвестных и рангов матрицы и расширенной матрицы системы. Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными Элементарными преобразованиями матрицы

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений при некотором фиксированном значении параметра и находим число общих точек построенных графиков Каждая общая точка это одно из решений системы Далее мысленно меняем параметр и представляем, как трансформируется график уравнения с параметром, как появляются и исчезают общие точки графиков Такое исследование требует развитого воображения Для тренировки воображения рассмотрим ряд типичных задач Назовём особыми значениями параметра те значения, при которых изменяется число решений Эти значения соответствуют ситуациям, когда графики решений касаются друг друга или угловая точка одного из графиков попадает на другой график Как правило, при переходе через особую точку число решений изменяется на два, а в самой такой точке оно на единицу отличается от числа решений при небольшом изменении параметра Рассмотрим задачи, в которых требуется найти число решений системы уравнений, одно из которых зависит от параметра а, а другое не зависит Переменные в системах x и y Числа xi, yi, r считаем заданными константами В ходе каждого решения, строим графики обоих уравнений Исследуем, как изменяется график уравнения с параметром при изменении значения параметра Затем делаем вывод о числе решений (общих точек построенных графиков) На интерактивном рисунке график уравнения без параметра показан синим цветом, а динамичный график уравнения с параметром показан красным цвета Для изучения темы (задания 1 7) используйте файл InMA 11, 5 Число решений системы с параметром Для исследований (задание 8) используйте файл GInMA Число решений системы с параметром (x x0) + (y y0) = r ; 1 Найдите число решений системы (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r ; Найдите число решений системы y = kx + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Найдите число решений системы y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r ; 4 Найдите число решений системы (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r ; 6 Найдите число решений системы y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Найдите число решений системы ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

2 1 Графики уравнений гладкие кривые (x x0) + (y y0) = r ; 1 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это окружность радиуса a с центром на оси абсцисс в точке А(х1; 0) Центр окружности неподвижен, радиус определяет параметр При увеличении модуля параметра окружность «раздувается» Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружности первого Условие касания окружностей модуль суммы или разности радиусов окружностей равен межцентровому расстоянию: а ± r = АО а = ± АО ± r Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейших случаев у0 = 0, когда общая ось окружностей горизонтальна, и х0 = х1, когда общая ось окружностей вертикальна В общем случае пользуйтесь треугольниками Пифагора Например, х0 х1 = 3, у0 = ±4 Типично, что как при малых по модулю, так и при больших по модулю значениях параметра решений нет Поскольку две несовпадающие окружности могут иметь не более двух общих точек, число решений в общем случае не более двух В точках касания число решений равно единице, при промежуточных значениях параметра двум Творческое задание Найдите то значение параметра, при котором три различные точки (x 1) + (y y0) = 9; являются решениями системы уравнений (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r ; Задание Найдите число решений системы y = kx + a Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это семейство параллельных прямых, проходящих через точки А(0; а) и имеющих постоянный наклон Тангенс угла наклона прямых равен k При увеличении параметра прямые перемещаются вверх Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

3 3 Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в особых точках: a = y 0 kx0 ± r 1 + k Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейшего случая k = 0, когда прямые параллельны оси абсцисс Затем рассмотрите случаи, когда корень извлекается (например, k = 3), уделите внимание популярному случаю k = 1 При малых и при больших значениях параметра решений нет Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при промежуточных значениях параметра двум Творческое задание Известно, что данная система уравнений имеет не более одного решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет решение: (x) + (y 3) = r ; y = x + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Найдите число решений системы y = ax + y1 Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это семейство прямых, проходящих через точку А(0; у1) Тангенс угла наклона прямых (а) определяет значение параметра При увеличении параметра возрастает угол между графиком и положительным направлением оси абсцисс Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности Если точка А(0; у1) находится внутри окружности, то любая возможная прямая пересекает окружность в двух точках Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания: ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в (y1 y 0) r особых точках Если x0 = 0, то особые значения параметра a = ± r Если y0 = y1, x0 r, то особые значения параметра a = ± (y1 y 0) r r x0 Если х0 = ± r, то окружность касается вертикальной прямой, проходящей через точку r (y1 y 0) А(0; у1) и значение параметра a = В остальных случаях x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейшего случая y0 = y1, x0 < r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 одинаковые по модулю, но разные по знаку абсциссы ±x0 Графики показаны синим и фиолетовым цветом График второго уравнения это окружность радиуса a с центром на оси абсцисс в точке А(х1; 0) Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружностей первого Условия касания сумма или разность радиусов окружностей равна межцентровому расстоянию: а ± r = АО, а ± r = АQ Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Пользуйтесь целыми значениями для одного межцентрового расстояния (например, х0 = 6, y0 = 3, r = 3, х1 =) Типично, что при малых по модулю и больших значениях параметра решений нет В точках касания число корней нечётное, в остальных точках число корней чётное (x 6) + (y y 0) = r ; Творческое задание Известно, что система уравнений при (x x1) + y = a некотором значении параметра имеет ровно два решения При этом значении параметра, графики касаются Найдите это значение параметра (x x0) + y y0 = r; 5 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a Решение: График первого уравнения состоит из пары парабол, которые стыкуются при y = y0 Уравнения парабол y = y0 ± (r (x x0)) Они имеют горизонтальную ось симметрии y = y0, вертикальную ось симметрии х = х0 Центр симметрии точка (x0, у0) Второй график это окружность радиусом а, центр которой расположен в центре симметрии парабол Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит касание окружности второго графика с вершинами парабол В точке касания: х = х0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, значит, а = ± r Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит внутреннее касание окружности второго графика с параболами Чтобы найти это значение, переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной: (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Это квадратное уравнение для (x x 0) Оно имеет один корень, если дискриминант равен нулю: ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит пересечение окружности и параболы в точках излома первого графика, то есть при y = y0 Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Пользуйтесь значениями r = 1, 4 и 9 Обратите внимание на то, что параметры х0 и y0 не влияют на ответ задачи При малых по модулю и больших значениях параметра решений нет x x0 + y y0 = r; 6 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a Решение: График первого уравнения это квадрат, наклоненный под углом 45 к осям координат, длина половины диагонали которого равна r Второй график это окружность радиусом а, центр которой расположен в центре симметрии квадрата Число корней изменяется при том значении параметра, при котором окружность проходит через вершины квадрата При этом y = у0, а = ±r Число корней изменяется при том значении параметра, при котором происходит внутреннее касание окружности со сторонами квадрата Чтобы найти это значение, переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной: (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Это квадратное уравнение для x x 0 Оно имеет один корень, если дискриминант равен нулю При этом a = ± r Радиус окружности в этом случае относится к радиусу в предыдущем случае, как sin 45: 1 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 Найдите число решений системы y = x a + y1 График первого уравнения это окружность с центром O(x0; y0) График второго уравнения состоит из двух лучей с общим началом это «птичка, крылья вверх», вершина графика расположена в точке А(а; у1) Число корней изменяется при том значении параметра, при которых «крыло» второго графика касается окружности или вершина графика лежит на этой окружности Тангенс угла наклона «правого крыла» к оси абсцисс равен 1, значит прямая, r x = x ±, k 0 содержащая это крыло, касается окружности в точках (хk; уk), таких, что r yk = y0 Условие касания уk = хk а + у1 а = хk уkа + у1= x0 y0 + у1 ± r Поскольку «крыло» это луч, идущий вверх, добавляется условие, что ордината вершины должна быть не больше, чем ордината точки касания, то есть у1 уk y0 у1 ± r Аналогично записываем условия касания с «левым крылом» Если вершина графика лежит на окружности, то её координаты удовлетворяют уравнению окружности: (а x0) + (у1 у0) = r Изменяя значение параметра, исследуйте число решений системы, то есть количество общих точек графиков В особых точках число корней нечётное, в остальных точках число корней чётное (x) + (y y 0) = r, Творческое задание Известно, что система уравнений при y = x a + y1, некотором значении параметра имеет три решения Найдите это значение параметра, если известно, что при этом ординаты двух решений совпадают f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Найдите число решений системы Задайте функции самостоятельно по образцу и исследуйте количество решений ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

8 8 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

9 9 Задания С5 (Семёнов Ященко) Вариант 1 Найдите все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства 4 x 1 x+ 3 a 3 является отрезок 3 a 4 x Размышляем Выполним преобразования x b 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 Граничные линии плоскости x 3a это: x = 0, x =, x= 3a, x=± 3 a a=(x+ 1) 1 4 Если 0 х, то b < 4x, b (x +1) 1 Так как 4x > (x +1) 1, то b (x +1) 1 Если 0 > х то b > 4x, (x +1) 1 b Решение есть при 1 b Например, x = 1 Если x >, то b > 4x, (x +1) 1 b Так как 4x < (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а > 8, то х [ 3 a+ 1 1,0] [, 3 a +1 1] Если 3а = 8, то х [ 4,0] х [ 3 a +1 1,0] [ 3 a+1 1, ] Если 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 > 3а, то х Решение Пусть 1 3а Тогда x = 1 удовлетворяет неравенству, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, противоречие, это число вне отрезка 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Пусть 1 > 3а Тогда x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a < 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, то первое неравенство не выполнено ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

10 10 Если 0 > х, то b (x +1) 1, второе неравенство не выполнено Ответ: 1 > 3а Вариант 3 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение a +7 x x + x +5= a+ 3 x 4 a +1 Размышляем Пусть f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Особая точка функции х + 1 = 0 Если х = 1, то уравнение имеет вид a +10 a 1 a =0 Легко найти его четыре решения Нужно доказать, что исходная функция всегда больше этой Решение Пусть f (a, x)=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Уравнение f (a, x)=0 Тогда f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Разность f (a, x) f (a, 1)=7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Значит, уравнение f (a, x)=0 имеет корни только в случае, если f (a, 1) 0 Уравнение f (a, 1)=0 имеет четыре корня a 1= , a = , a 3= , a 4 = Функция f (a, 1) 0 (не положительная) при a Например, если а = 10, то есть корень При остальных значениях а x= f (a, x) f (a, 1)>0 Корней нет Ответ: [ 5 15, 5+ 15] Вариант 5 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ x a + Используем функцию f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 и неравенство f (a, x) f (a,) (x+ + a x a+) 0 Ответ: [ , ] Вариант 9 Найдите число корней уравнения x + 4x 5 3a = x + a 1 Размышляем Считаем известным следующее (очевидное) утверждение Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некотором промежутке Пусть производная одной больше на промежутке, чем другой Пусть разность значений функций на левом конце имеет один знак, на правом другой Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке ровно один корень Решение Обозначим f(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Уравнение f(x, a) = g(x) ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

11 11 Особые точки функции g(x) это минимумы при x = 1 и x = 5 и максимум при x = Значения g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Функция имеет ось симметрии x = 3 При больших по модулю значениях икса квадратичная функция g(x) больше линейной f(x, a) Наклон функции вне отрезка [ 5,1] определяем производной (x + 4x 5)" = x при x > 1 Функция g(x) при x > 1 монотонно возрастает с коэффициентом больше, чем 6 В силу симметрии, функция g(x) монотонно убывает с коэффициентом больше, чем 6 при x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а > 0 Значения в ряде точек f(а, a) = 3а, f(5, a) = 3а + 5 a, f(, a) = 3а + a, f(1, a) = 3а + 1+ a Графики f(x, a) и g(x) касаются, если равны их наклоны Касание возможно при x = 5 При этом g(x) = 39/4 f(x, a) = 4а + x = 39/4, 4a = 49/4, a = 49/16 Анализируем корни уравнения f(x, a) = g(x) Если a <, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x > 1, g(x) возрастает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 > 1, f(1, a) = 4а + 1 < 1f(, a) = а + < 10 При x > f(x, a) < g(x), корней нет При x < f(1,a) > 1 При x < 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x > Если a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), корней 4, один два на левой ветке f(х, a) при x < 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x > 1 Если 3 < a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x > 1 Если a = 49/16, то число корней 3, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, один в точке касания при x = 5, один при x > 1 Если a > 49/16, то число корней, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, один на правой при x > 1 Ответ: нет корней при a < ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Вариант 10 Найдите все значения параметра a, для каждом из которых имеет два корня уравнение 4x 3x x + a = 9 x 3 Решение Обозначим f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x) = 9 x 3 Особая точка функции g(x) это x = 3 Функция монотонно убывает с коэффициентом 9 при x < 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x > 3 Функция f(x, a) является кусочно линейной с коэффициентами 8, 6, или 0 Значит, она не убывает по иксу, скорость её роста меньше, чем у правой ветви функции 9 x 3 f(3, a) = a График этого выражение суть ломаная с вершинами (1, 1), (3, 3), (6, 1) Значения функции положительные при а (4, 18) Из найденного следует Если f(3, a) < 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) > f(x, a) Если f(3, a) = 0, уравнение имеет ровно один корень x = 3 Для других иксов g(x)> f(x, a) Если f(3, a) > 0, уравнение имеет ровно два корня, один при x < 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x > 3, когда быстро возрастающая ветвь g(x) пересекает медленно возрастающую ветвь f(x, a) Ответ: а (4, 18) Вариант 11 Найдите все значения параметра a, для каждом из которых при любом значении параметра b имеет хотя бы одно решение система уравнений (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Размышляем Система имеет вид (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, Удобно x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Видно решение x = y = 0 и x y =4 (a +1) соответствующие значения параметра a = 1 и a = 3 проанализировать особую точку b = Тогда (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y=4 (a+ 1) Решение Запишем систему в виде Решение x = y = 0 существует всегда при a = 1 или a = 3 Если b =, то система имеет вид (1+ 3 x)a +1 y =, или x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) Если a > 1 или a < 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x > 0, из первого найдём a = 0 Пусть a = 0 Тогда для b = 4 из первого уравнения получим, что у = 0 При этом второе уравнение не имеет решения Ответ: 1 или 3 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

13 13 Вариант 14 Найдите все значения параметра, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x 6x a 4a = 0 принимает наибольшее значение Решение Запишем уравнение в виде (x 3) = 1 (a) Его решение = 0 силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать для отрезка x=3± 1 (a) Наибольшая разность корней равна при a = Ответ: Вариант 15 Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение (4 4 k) sin t =1 имеет хоть одно решение на отрезке [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Решение В силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать для отрезка t [ π ; 15 π ], затем из каждого полученного решения вычесть 4π Преобразуем уравнение к виду + 4 k sin t cos t =0 cos t 4 sin t На отрезке t [ π ; 15 π ] синус монотонно убывает от нуля до минус единицы, косинус монотонно нарастает от минус единицы до нуля Знаменатель обращается в нуль при 4tgt = 1, то есть при sin t = 1 4, cos t = Числитель при t = π равен 1, при t = 15π равен 4k Если k 0, числитель положительный и уравнение не имеет корней Если k > 0, оба переменных слагаемых числителя убывают, то есть числитель изменяется монотонно Значит, числитель принимает нулевое значение ровно один раз, если k 05 и положителен при меньших значениях k Уравнение имеет корень, если числитель нуль, а знаменатель не нуль, то есть в случае 4k =+ 4 k sin t cos t + k Ответ: k [ 05,+)\1+ } Вариант 18 Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений (x a 5) +(y 3 a +5) =16, (x a) +(y a+1)=81 Размышляем Каждое уравнение описывает окружность Решение единственное в случае касания окружностей Решение Первое уравнение задает окружность с центром в точке (a + 5, 3a 5) и радиусом 4 Второе уравнение окружность с центром в точке (a +, a 1) радиусом 9 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

14 14 Система имеет единственное решение если окружности касаются При этом расстояние между центрами равно = 13 или 0 4 = 5 Квадрат межцентрового расстояния: ((a + 5) (a +)) + ((3a 5) (a 1)) = a a + 5 Если расстояние 5, то a = 0 или a = 1 Если расстояние 13, то a = 8 или a = 9 Ответ: 8, 0, 1, 9 Вариант 1 Найдите все значения параметра при каждом из которых имеет ровно два неотрицательных решения уравнение 10 0,1 x a 5 x + a =004 x Решение Выполняем преобразования 5 x a 5 x + a =5 x Обозначим t = 5x 1 В силу монотонности показательной функции 5x, каждый корень t 1 порождает ровно один корень x 0 Уравнение примет вид t a t+ a t =0 Если a t, то t + 3t + a = 0 нет корней, больших, чем 1 Если t > a t/, то t t + 3a = 0 При t > 1 функция монотонно возрастает, корень только один Если 1/ > t/ > a, то t 3t a = 0 При t > 1 функция t 3t монотонно убывает от при t = 1 до 5 при t = 15 и далее монотонно возрастает Значит, при 5 > a корней два, при меньших а нет корней, при больших а корень ровно один Ответ: 5 > a Вариант Найдите в зависимости от параметра число решений системы x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Размышляем Система имеет вид f(x)= y, f(y)= x, или f(f(х)) = x Одно из решений f(x)= x Второе решение находим, вычитая уравнения Решение Вычтем из первого уравнения второе Получим (x + y a)(x y) = 0 Пусть x = у Подставим в первое уравнение, преобразуем Получим (x a 1) = 4 + а Пусть x + у = а Подставим в первое уравнение, преобразуем: (x a) = 3 + а Если a <, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 > a >, то есть пара решений x= y =a+ 1± 4+ a Если a = 15, то два решения: x = y = a, x = y = a + Если 15 < a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, два решения, a > 15 четыре решения ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

15 15 Вариант 4 Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет корней уравнение 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x Размышляем 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Значит, уравнение включает сумму и сумму кубов одинаковых выражений Это можно использовать Решение Преобразуем уравнение к виду (3 x)3 +(4 a x)3+ (3 x + 4 a x)=0 Разложим сумму кубов (3 x +4 a x) ((3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 Второй множитель это неполный квадрат разности увеличенный на Он положительный Выделив в первом множителе квадрат, получим 1 1 3(x) + 4 a = Это уравнение не имеет корней, если 4 a >0, a > 3 1 Ответ: 1а > 1 Вариант 8 Найдите значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции x a x не меньше единицы Решение Если x a, функция f(x,a) = x a x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен 0,5 а При a < 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a > 0,5 наибольшее значение функции a + 0,5 1 при а 0,75 Ответ: а 0,75 или 075 а Пара функций Найти диапазон положительных значений а, для каждого из которых найдется такое b, что система уравнений: y = х4 + а, х = 8y + b имеет чётное число решений Решение: Из первого уравнения следует, что у > 0, второе уравнение можно 8 преобразовать к виду: y=, х (b; +) Искдючим у: x b f (x) = x a = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Каждый корень полученного уравнения порождает ровно одно решение исходной системы При b 0 функция f(x) монотонно возрастающая и уравнение имеет ровно один корень При отрицательных b < 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 = х1, оба корня совпадают и уравнение f(х) = 0 имеет только один корень Производная f`(x) положительная при х b и при х + Она равна нулю при условии f `(x) = 0 g (x) = x (x b) + 1 = 0 Последнее уравнение может иметь один или два корня, причём только при отрицательных иксах Обозначим их х1 и х: g(х1) = g(х) = 0 Ответ: a (0; 3) ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

Примеры решения заданий типа С5 для ЕГЭ 013 Большинство рисунков в комплекте интерактивные. Вы можете изменять параметры и уравнения графиков. Вход в интерактивные файлы выполняется с помощью щелчка по

Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие.) Решить уравнение или неравенство с

1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество...1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

ВИДЫ ГРАФИКОВ Формула: y = kx + b k означает наклон прямой b показывает, на сколько единиц прямая смещена вверх или вниз относительно начала координат При положительном k прямая возрастает ПРИМЕРЫ: y =

C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Задание 23 314690. Постройте график функции будет пересекать по- и определите, при каких значениях прямая строенный график в трѐх точках. Построим график функции (см. рисунок). Из графика видно, что прямая

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром) Теоретический материал Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается

Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь МБ Основные сведения Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется функция вида у ax bx c, где abc, заданные числа и Квадратичные функции у

Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Методика формирования компетентностного компонента математической культуры учеников классов Система изучения учебных модулей по математике И. К. Сиротина, старший преподаватель кафедры информационных технологий

Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Занятие 8 Основные тригонометрические формулы (продолжение) Тригонометрические функции Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Формулы для преобразования произведения синуса и косинуса

ФУНКЦИИ. Понятие функции. Допустим, скорость движения человека составляет 5 км/ч. Если принять время в пути за x часов, а пройденный путь за y км, то зависимость пройденного пути от времени в пути можно

Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f (a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0, где f (a) 0, является

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, [email protected] Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si (si)(7 y)

1 Билеты 9 10. Решения Билет 9 1. Дана линейная функция f(x). Известно, что расстояние между точками пересечения графиков y = x и y = f(x) равно 10, а расстояние между точками пересечения графиков y =

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

8 класс Решения 017-018 гг. Задание Задача 1 Найти сумму кубов корней уравнения (х х 7) (х х) 0. Для решения уравнения воспользуемся методом замены переменной. Обозначим у = х + х 7, тогда х + х = (х

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Математика 8 класс 2 СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Раздел 1. Алгебраические дроби (24 часа) Понятие алгебраической дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение алгебраических дробей. Сложение и вычитание

Тема 10 «Графики элементарных функций». 1. Линейная функция f(x) = kx + b. График - прямая линия. 1) Область определения D(f) = R.) Область значений E(f) = R. 3) Нули функции у = 0 при x = k/b. 4) Экстремумов

П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f (), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Вариант Найти область определения функции: y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

БИЛЕТ 15 Физтех 017. Билеты 15 16. Решение 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает значения 1, 1 и 5 соответственно. Найдите наименьшее

Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0)). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Геометрический смысл производной, касательная 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Значение

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Математика. Собрание заданий (14 апреля 01). Задачи с параметром-. Задача 1. При каких значениях параметра aсуществует единственное решение уравнения 4 + 1 = + a ax x x x a Задача. Найти все действительные

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Часть I(Вариант 609) A Внесите множитель под знак корня 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q Верный ответ) Найдите значение выражения),5) Верный ответ) 9 при a = a a)) 8 A log 8 Найдите значение

Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Однако на практике широко распространены еще два случая:

– Система несовместна (не имеет решений);
– Система совместна и имеет бесконечно много решений.

Примечание : термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц .

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса . На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников .

Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же , разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).

Пример 1

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных , то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.

(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.

(3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.

(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.

Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений) .

Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дадим ответ: система не имеет решений (несовместна).

Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли .

Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости».

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия.

Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.

Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Вот и всё, а вы боялись.

(1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так!

(2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить.

Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них.

В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы:

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса.

Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные свободными . Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы .
В данном примере базисными переменными являются и

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные .

Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх.
Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную через свободные переменные :

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :

Собственно, общее решение готово:

Как правильно записать общее решение?
Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции:
.

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Придавая свободным переменным произвольные значения , можно найти бесконечно много частных решений . Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим в общее решение:

– частное решение.

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим в общее решение:

– еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения)

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно.

Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

В левую часть второго уравнения системы:


Получена правая часть исходного уравнения.

Пример 4

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание . Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров для закрепления материала

Пример 5

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.

Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна:

Обратный ход:
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Да, всё-таки удобен калькулятор, который считает обыкновенные дроби.

Таким образом, общее решение:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , тоже заняли свои порядковые места.

Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)

Подставляем трех богатырей , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно.

Пусть , тогда – частное решение.
Пусть , тогда – еще одно частное решение.

Ответ : Общее решение: , частные решения: , .

Зря я тут про негров вспомнил... ...потому что в голову полезли всякие садистские мотивы и вспомнилась известная фотожаба, на которой куклуксклановцы в белых балахонах бегут по полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….

Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.

Пример 6

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.

Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.

В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

{-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

{3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) .

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу самой матрицы системы.

Системы линейных уравнений

Совместные r(A)=r() несовместные r(A)≠r().

Таким образом, системы линейных уравнений имеют либо бесконечное множество решений, либо одно решение, либо не имеют решений совсем.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Элементарными преобразованиями матрицы. Метод крамера. Определение вектора

Два элемента перестановки образуют инверсию если в записи перестановки больший элемент предшествует меньшему.. существует n различных перестановок n ой степени из n чисел докажем эту.. перестановка называется ч тной если общее количество инверсий есть ч тное число и соответственно неч тной если..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Теорема Кронекера-Капелли
Рассмотрим систему линейных уравнений с n неизвестными: Составим матрицу и расширенную матрицу

Понятие однородной системы линейных уравнений
Система линейных уравнений, все свободные члены в которых равны 0, т.е. система вида называется однородн

Свойство решений однородной СЛУ
Линейная комбинация решений однородной системы уравнений сама является решением этой системы. x=и y=

Связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений
Рассмотрим обе системы: I и

Аксиоматический подход к определению линейного пространства
Ранее было введено понятие n-мерного векторного пространства как совокупности упорядоченных систем n-действительных чисел, для которых были введены операции сложения и умножения на действительное ч

Следствия из аксиом
1. Единственность нулевого вектора 2. Единственность противоположного вектора

Доказательство следствий
1. Предположим, что. -нулево

Базис. Размерность. Координаты
Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям: 1) система

Предположим, требуется найти все пары значений переменных х и у, которые удовлетворяют уравнение
ху – 6 = 0 и уравнение у – х – 1 = 0, то есть необходимо найти пересечение множеств решений этих уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений ху – 6 = 0 и у – х – 1 = 0.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. Например, рассматриваемую систему уравнений можно записать так:

{ху – 6 = 0,
{у – х – 1 = 0.

Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными.

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в которых в каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Графическое решение систем такого вида сводится к отысканию координат общих точек двух прямых.

Как известно, две прямые на плоскости могут быть пересекающимися или параллельными. В случае параллельности прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Пример 1.

Решим систему уравнений:

{2х + у = -11,
{х – 2у = 8.

Решение.

{у = -3х – 11,
{у = 0,5х – 4.

Угловые коэффициенты прямых – графиков уравнений системы различны (-3 и 0,5), значит, прямые пересекаются.

Координаты точки их пересечения являются решением этой системы, единственным решением.

Пример 2.

Решим систему уравнений:

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Решение.

Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:

{у = 1,5х – 6,
{у = 1,5х – 2,75.

Прямые у = 1,5х – 6 и у = 1,5х – 2,75 имеют равные угловые коэффициенты, значит эти прямые параллельны, причём прямая у = 1,5х – 6 пересекает ось у в точке (0; -6), а прямая у = 1,5х – 2,75 – в точке (0; -2,75), следовательно, прямые не имеют общих точек. Поэтому система уравнений не имеет решений.

В том, что данная система не имеет решений можно убедиться рассуждая следующим образом. Умножив все члены первого уравнения на 2, получим уравнение 6х – 4у = 24.

Сравнивая это уравнение со втором уравнением системы, видим, что левые части уравнений одинаковы, поэтому при тех же значениях х и у они не могут принимать различных значений (24 и 11). Следовательно, система

{6х – 4у = 24,
{6х – 4у = 11.

не имеет решений, значит, не имеет решений и система

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Пример 3.

Решим систему уравнений:

{5х – 7у = 16,
{20х – 28у = 64.

Решение.

Разделив каждый член второго уравнения на 4, получим систему:

{5х – 7у = 16,
{5х – 7у = 16,

состоящую из двух одинаковых уравнений. Графики этих уравнений совпадают, поэтому координаты любой точки графика будут удовлетворять каждому из уравнений системы, то есть являться решением системы. Значит, данная система имеет бесконечное множество решений.

Если в каждом уравнении системы двух линейных уравнений с двумя переменными хотя бы один из коэффициентов при переменной не равен нулю, то система либо имеет единственное решение, либо имеет бесконечно много решений.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.