Уравнения с двумя переменными. Решить квадратное уравнение онлайн Как решить квадратное уравнение
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений.
Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн
, вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
| Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
|
1.
Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3х - 2х 2 +1=-1 Приводим к -2х 2 +3х+2=0 2.
Находим дискриминант D. 3.
Находим корни уравнения. |
1.
Действительные корни. Причем. x1 не равно x2 Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2.
Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3.
Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1) 1/2 5.
Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6.
Уравнение решений не имеет. |
Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений .
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор
окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете
Цели:
- Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
- Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
- Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.
Тип урока : комбинированный.
Оборудование: графопроектор.
Наглядность: таблица «Теорема Виета».
Ход урока
1. Устный счет
а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?
б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?
в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?
г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2
2. Самостоятельная работа (в группах)
Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»
1 группа
Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6
Составить уравнение:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
е=1(-2)(-3)6=36
х 4 - 2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера
р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36
р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2
р 2 (x) = х 2 -3х -18=0
х 3 =-3, х 4 =6
Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)
2 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5
Составить уравнение:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
е=2(-1)2*5=-20;е=-20
8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20
р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5
Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)
3 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3
Составить уравнение:
В=-1+1-2+3=1;в=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
е=-1*1*(-2)*3=6
х 4 - х 3 - 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.
р = ±1;±2;±3;±6
р 4 (1)=1-1-7+1+6=0
р 3 (x) = х 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3
Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)
4 группа
Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3
Составить уравнение:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36
х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36
р = ±1;±2;±3…
р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0
р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0
р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3
Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)
5 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4
Составить уравнение
х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.
р = ±1;±2;±3
р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О
р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)
6 группа
Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8
Составить уравнение
B=1+1-3+8=7;b=-7
с=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
х 4 - 7х 3 - 13х 2 + 43 x - 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.
р 4 (1)=1-7-13+43-24=0
р 3 (1)=1-6-19+24=0
р 2 (x)= х 2 -5x - 24 = 0
х 3 =-3, х 4 =8
Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)
3. Решение уравнений с параметром
1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх - 15 = 0; если один из корней равен (-1)
Ответ записать в порядке возрастания
R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0
х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0
По условию х 1 = - 1; Д=1+15=16
Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0
х 2 =-1-4 = -5;
х 3 =-1 + 4 = 3;
Ответ:- 1;-5; 3
В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)
2. Найти все корни многочлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.
Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)
Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а
Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а
x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(х-3)(х 2 -6) = 0
3) а=0, х 2 -0*х 2 +0 = 0; х 2 =0; х 4 =0
а=0; х=0; х=1
а>0; х=1; х=а ± √а
2. Составить уравнение
1 группа . Корни: -4; -2; 1; 7;
2 группа . Корни: -3; -2; 1; 2;
3 группа . Корни: -1; 2; 6; 10;
4 группа . Корни: -3; 2; 2; 5;
5 группа . Корни: -5; -2; 2; 4;
6 группа . Корни: -8; -2; 6; 7.
В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.
Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида
ах 4 +
bx
2
+
c
= 0
, гдеа ≠ 0
, являющиеся квадратными относительно х 2 , и называются биквадратными
уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.
Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х 2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).
Например, решим уравнение х 4 + 4х 2 ‒ 5 = 0.
Обозначим х 2
через у
(х 2 = у
) и получим уравнение у 2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.
Решаем полученное уравнение:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
у 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
у 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Вернемся к нашей переменной х.
Получили, что х 2 = ‒ 5 и х 2 = 1.
Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х 1 = 1 и х 2 = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).
Ответ: - 1 и 1.
Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.
Пример 1. Решите уравнение 2х 4 ‒ 5 х 2 + 3 = 0.
Пусть х 2 = у, тогда 2у 2 ‒ 5у + 3 =0.
D = (‒ 5) 2 – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
у 1 = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.
Тогда х 2 = 1 и х 2 = 1,5.
Получаем х 1 = ‒1, х 2 = 1, х 3 = ‒ √1,5 , х 4 = √1,5.
Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Пример 2. Решите уравнение 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.
2у 2 + 5у + 2 =0.
D = 5 2 – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
у 1 = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Тогда х 2 = ‒ 2 и х 2 = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.
Ответ: решений нет.
Неполные биквадратные уравнения - это когда b = 0 (ах 4 + c = 0) или же c = 0
(ах 4 + bx 2 = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.
Пример 3. Решить уравнение х 4 ‒ 25х 2 = 0
Разложим на множители, вынесем х 2 за скобки и тогда х 2 (х 2 ‒ 25) = 0.
Получим х 2 = 0 или х 2 ‒ 25 = 0, х 2 = 25.
Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.
Ответ: 0; 5; – 5.
Пример 4. Решить уравнение 5х 4 ‒ 45 = 0 .
х 2 = ‒ √9 (решений не имеет)
х 2 = √9, х 1 = ‒ 3, х 2 = 3.
Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.
Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Представление об уравнениях с двумя переменными впервые формируется в курсе математики за 7 класс. Рассматриваются конкретные задачи, процесс решения которых приводит к такому виду уравнений.
При этом они изучаются довольно поверхностно. В программе главный акцент делается на системах уравнений с двумя неизвестными.
Это стало причиной того, что задачи, в которых на коэффициенты уравнения накладываются определенные ограничения, практически не рассматриваются. Недостаточно внимания уделено методам решения заданий типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах». Известно, что материалы ЕГЭ и билеты вступительных экзаменов часто содержат такие упражнения.
Какие именно уравнения определяются как уравнения с двумя переменными?
ху = 8, 7х + 3у = 13 или х 2 + у = 7 – примеры уравнений с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение х – 4у = 16. Если х = 4, а у = -3, оно будет правильным равенством. Значит, эта пара значений – решение данного уравнения.
Решение любого уравнения с двумя переменными – множество пар чисел (х; у), которые удовлетворяют это уравнение (превращают его в верное равенство).
Часто уравнение преобразовывают так, чтобы из него можно было получить систему для нахождения неизвестных.
Примеры
Решить уравнение: ху – 4 = 4х – у.
В данном примере можно воспользоваться методом разложения на множители. Для этого нужно сгруппировать слагаемые и вынести общий множитель за скобки:
ху – 4 = 4х – у;
ху – 4 – 4х + у = 0;
(ху + у) – (4х + 4) = 0;
у(х + 1) – 4(х + 1) = 0;
(х + 1)(у - 4) = 0.
Ответ: Все пары (х; 4), где х – любое рациональное число и (-1; у), где у – любое рациональное число.
Решить уравнение: 4х 2 + у 2 + 2 = 2(2х - у).
Первый шаг – группирование.
4х 2 + у 2 + 2 = 4х – 2у;
4х 2 + у 2 + 1 - 4х + 2у + 1 = 0;
(4х 2 – 4х +1) + (у 2 + 2у + 1) = 0.
Применив формулу квадрата разности, получим:
(2х - 1) 2 + (у + 1) 2 = 0.
При суммировании двух неотрицательных выражений ноль получится только в том случае, если 2х – 1 = 0 и у + 1 = 0. Отсюда следует: х = ½ и у = -1.
Ответ: (1/2; -1).
Решить уравнение (х 2 – 6х + 10)(у 2 + 10у + 29) = 4.
Рационально применить оценочный метод, выделив полные квадраты в скобках.
((х - 3) 2 + 1)((у + 5) 2 + 4) = 4.
При этом (х - 3) 2 + 1 ≥ 1, а (у + 5) 2 + 4 ≥ 4. Тогда левая часть уравнения всегда не меньше 4. Равенство возможно в случае
(х - 3) 2 + 1 = 1 и (у + 5) 2 + 4 = 4. Следовательно, х = 3, у = -5.
Ответ: (3; -5).
Решить уравнение в целых числах: х 2 + 10у 2 = 15х + 3.
Можно записать это уравнение в таком виде:
х 2 = -10у 2 + 15х + 3. Если правую часть равенства делить на 5, то 3 – остаток. Из этого следует, что х 2 не делится на 5. Известно, что квадрат числа, которое не делится на 5, должен дать в остатке или 1, или 4. Значит, уравнение корней не имеет.
Ответ: Решений нет.
Не стоит расстраиваться из-за трудностей в поиске верного решения для уравнения с двумя переменными. Упорство и практика обязательно принесут свои плоды.