Решение задач «Теорема Пифагора. Презентация на тему "задания по теореме пифагора" Задания по теореме пифагора

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 1 вариант

В квадрате АВСД сторона АВ равна 6 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 2 вариант

Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 5 и 12 см. Сделайте рисунок.

Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 17 м, а второй катет равен 8 м. Сделайте рисунок

В квадрате АВСД сторона АВ равна 10 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок

______________________________________________________________________________________

В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.

В равнобедренном треугольнике МРК, основание 20 см, найдите высоту РН, проведенную к основанию треугольника, если боковая сторона МР равна 26. Сделайте рисунок.

Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см. Сделайте рисунок.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 3 вариант

Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см. Сделайте рисунок.

Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 13 м, а второй катет равен 12 м. Сделайте рисунок

В квадрате АВСД сторона АВ равна 11 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок

______________________________________________________________________________________

В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 4 вариант

Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см. Сделайте рисунок.

В квадрате АВСД сторона АВ равна 70 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок

______________________________________________________________________________________

В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Красниковская основная общеобразовательная школа»

Знаменского района Орловской области

Конспект урока по теме:

«Решение задач по теме: «Терема Пифагора»

Учитель математики –

Филина Марина Александровна

2015 – 2016 учебный год

Решение задач по теме: «Терема Пифагора»

Цель урока:

Закрепить умение применять теорему Пифагора при решении задач
Развивать логическое мышление
Учить использовать полученные знания на практике и в повседневной жизни

Тип урока: урок обобщения и закрепления изученного материала.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор; презентация к уроку.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей).

Математический диктант

Какой треугольник называется прямоугольным?
Чему равна сумма углов прямоугольного треугольника?
Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?
Сформулируйте свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов.
Сформулируйте теорему Пифагора.
Как называется сторона противолежащая прямому углу?
Как называется сторона прилежащая к прямому углу?

Проверка математического диктанта

Если есть прямой угол.

180°
3. 90°

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла

В 30° равен половине гипотенузы.

5. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы

Равен сумме квадратов катетов.

6. Гипотенуза.

7. Катет.

Решение задач

№ 2. На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы,

Длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

№3. Дано:

∆АВС равнобедренный

АВ = 13 см,

ВД – высота, ВД=12 см

Найти: АС

№ 4.

Дано: ABCD – ромб,

АС, ВД – диагонали,

АС = 12 см, BD = 16 см.

Найти: P ABCD

Физкультпауза

Тест

1. Теорему какого учёного мы применяли сегодня на уроке?
а) Демокрита; б) Магницкого; в) Пифагора; г) Ломоносова.
2. Что открыл этот математик
а) теорему; б) рукопись; в) древний храм; г) задачу.
3. Как называется большая сторона в прямоугольном треугольнике?
а) медиана; б) катет; в) биссектриса; г) гипотенуза.
4. Почему теорему назвали «теоремой невесты»
а)потому, что она была написана для невесты;
б) потому, что она была написана невестой;
в) потому, что чертеж похож на «бабочку», а «бабочка» переводится как «нимфа» или» невеста»;
г) потому, что это загадочная теорема.

5. Почему теорему назвали «мостиком ослов»
а) она применялась для дрессировки осликов;
б) только умный и упрямый мог преодолеть этот мостик и доказать эту теорему;
в) написали ее «ослики»;
г) очень сложное доказательство теоремы.
6. В теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен
а) сумме длин сторон треугольника;
б) сумме квадратов катетов;
в) площади треугольника;
г) площади квадрата.
7. Чему равны стороны египетского треугольника?
а) 1, 2, 3; б) 3,4,5; в)2,3,4; г) 6,7,8.

Итог урока, выставление оценок .

Домашнее задание - № 9, № 12

Р е ф л е к с и я

«Я повторил…» «Я узнал…»

«Я закрепил…» «Я научился решать…»

«Мне понравилось…»

Тема урока

Теорема Пифагора

Цели урока

Познакомиться школьников с теоремой Пифагора;
Сформулировать и доказать теорему Пифагора;
Познакомить школьников с разными методами применения этой теоремы при решении задач;
Формировать навыки использования полученных знаний на практике;
Развивать внимание учащихся, самостоятельность и интерес к геометрии;
Воспитывать культуру математической речи.

Задачи урока

Научиться использовать свойства фигур при выполнении заданий.
Уметь применять теорему Пифагора во время решения задач.

План урока

Краткие биографические сведения.
Теорема и ее доказательство.
Интересные факты.
Решение задач.
Домашнее задание.

Краткие биографические сведения о Пифагоре

На жаль, Пифагор не оставил никаких сочинений о своей биографии, поэтому все сведения об этом великом философе и знаменитом математике мы можем узнать только благодаря воспоминаниям его последователей, да и то не всегда справедливых. Поэтому об этом человеке ходит много легенд. Но правда заключается в том, что Пифагор был великим эллинским мудрецом, философом и талантливым математиком.

По недостоверным сведениям, великий мудрец и гениальный ученый Пифагор родился в далеко не бедной семье, на острове Самосее, приблизительно в 570 году до н.э.

Появление на свет гениального ребенка предрекла Пафия. Поэтому будущий светила получил свое имя Пифагор, которое обозначает, что это именно тот, о ком объявила Пафия. Она предсказала, что рожденный младенец в будущем принесет немало пользы и добра людям.

Новорожденный был безумно красив, а современем порадовал окружающих своими выдающимися способностями. А так как юное дарование коротало свои дни среди мудрых старцев, то в будущем это принесло свои плоды. Вот так благодаря Гермодаманту Пифагор полюбил музыку, а Ферекид направил ум ребенка к логосу. После жизни в Самосее Пифагор отпправился в Милеет, где произошло знакомство еще с одним ученым - Фалесом.

Пифагор познакомился со знаниями всех известных по тем временам мудрецов, так как был допущен к обучению и познанию всех таинств, которые были другим запрещены. Он старался докопаться до истины и впитать все накопленные человечеством знания.

После двадцати двух лет пребывания в Египте, Пифагор перебрался в Вавилон, где продолжил свое общение с различными мудрецами и магами. Вернувшись в конце своей жизни в Самиос, он был признан одним из мудрейших людей того времени.

Теорема Пифагора

Даже человек, которому пока не довелось изучать эту теорему, наверняка слышал высказывание о «пифагоровых штанах». Особенность этой теоремы в том, что она стала одной из ключевых теорем евклидовой геометрии. Она позволяет легко найти и установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора запомнилась каждому школьнику не только высказыванием: «пифагоровы штаны на все стороны равны», а своей простотой и значимостью. И на первый взгляд эта теорема хотя и кажется простой, но имеет большое значение, так как в геометрии она применяется фактически на каждом шагу.

Теорема Пифагора насчитывает большое количество разных доказательств и, наверное, является единственной теоремой, которая имеет такое огромное число доказательств. Такое разнообразие подчеркивает безграничную значимость этой теоремы

В теореме Пифагора присутствуют геометрические, алгебраические, механические и другие доказательства.

Об открытии теоремы Пифагором сложено много разных легенд. Но, несмотря на все это, имя Пифагора навеки вошло в историю геометрии и прочно слилось с теоремой Пифагора. Ведь этот гениальный математик первым представит доказательство теоремы, которая носит его имя.

Формулировки теоремы

Существуют несколько формулировок теоремы Пифагора.

Евклидова теорема говорит нам, что квадрат стороны прямоугольного треугольника, проведенный над его прямым углом, равняется квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.

Задание: Найдите различные формулировки теоремы Пифагора. Находите ли вы в них какое-то различие?

Упрощенное доказательство Евклида

Независимо от того, мы берем метод разложения или доказательство Евклида, можно использовать любое расположение квадратов. В некоторых случаях при этом можно достичь небольших упрощений.

Возьмем квадрат, который построен на одном из катетов и имеет тоже расположение, что и треугольник. Мы видим, что продолжение стороны, противоположной катету этого квадрата проходит через вершину квадрата, который построен на гипотенузе.

Доказательство теоремы выглядит довольно просто, так как будет достаточно просто сравнить площади фигур с площадью треугольника. И мы видим, что S треугольника равна ½ площади квадрата, а также ½ S прямоугольника.

Самое простое доказательство

Алгебраическое доказательство

К алгебраическому доказательству теоремы Пифагора относятся элементарные методы, которые присутствуют в алгебре. Это способы решения уравнений в сочетании со способом замены переменных.

Давайте рассмотрим это доказательство более детально. И так, у нас есть прямоугольник АВС, у которого прямой угол – С.

Проведите с этого угла высоту CD.

Согласно определения косинуса угла мы получим:

соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2.

И соответственно:

соsВ = BD/BC=BC/AB.

Отсюда AB*BD=ВС2.

Теперь сложим эти равенства почленно и увидим, что: AD+DB=AB,

АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2.

Вот и все, теорема доказана.

Теорему Пифагора ученые «доказали» с помощью мультиков. Группа единомышленников из института им. Стеклова получила премию за оригинальный математический проект, который они разработали для школьников и учителей. Они создали мини уроки по математике, которые этот скучный предмет превратили в очень интересный и познавательный. Свои необычные этюды молодые ученые выпустили на дисках и выложили в Интернете на всеобщее обозрение.

Вопросы

1. Кто такой Пифагор?
2. О чем гласит теорема Пифагора?
3. Какие существуют формулировки теоремы Пифагора?
4. При решении, каких задач применяется теорема Пифагора?
5. Где теорема Пифагора нашла практическое применение?
6. Какие вы знаете способы использования теоремы Пифагора?

Задачи с применением теоремы Пифагора

Используя знания теоремы Пифагора, попробуйте решить следующие задачи:

Из туристической базы, одновременно, вышли две группы туристов. Первая группа пошла на юг и прошла семь километров, а вторая свернула на запад и прошла девять километров. Используя знания теоремы, найдите расстояние между группами туристов.

Если в прямоугольном треугольнике его катет равен 15 см, а гипотенуза равняется 16 см, то чему будет равен второй катет?

Чему будет равна площадь трапеции, когда ее большое основание равно 24 см, меньшее – 16, а большая диагональ прямоугольной трапеции равна 26 см?

Домашнее задание

Оформите в виде небольшого доклада несколько доказательств теоремы Пифагора, которые вам понятны и решите задачи.

1. Найдите диагональ прямоугольного треугольника, при условии, что стороны его равны 8 см и 32 см.

2. Найдите медиану треугольника, которая проведена к основанию, если в равнобедренном треугольнике периметр равен 38 см, а его боковая сторона равняется 15 см.

3. У треугольника стороны равны 10см, 6 см и 9 см. Попробуйте определить, является ли этот треугольник прямоугольным?

Предмети > Математика > Математика 8 класс

Предмет : математика (геометрия).

Класс : 8 (общеобразовательный).

Учебник : Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян и др. - М.: «Просвещение», 2016.

Место проведения : класс.

Форма проведения занятия : урок.

Время проведения занятия : 1 академический час (45 минут).

Цель: создать условия для закрепления знаний обучающихся по решению задач на применение теоремы Пифагора.

Задачи:

· образовательные:

Обобщить имеющиеся знания о нахождении сторон в прямоугольном треугольнике;

Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы Пифагора в задачах практического содержания.

· воспитательные:

Вовлечь в активную деятельность всех обучающихся класса;

Способствовать формированию у обучающихся положительной мотивации к обучению;

Создать условия для воспитания навыков сотрудничества.

· развивающие:

Способствовать развитию логического мышления;

Способствовать развитию стремления к самостоятельной работе.

Образовательные результаты:

· личностные:

Уметь четко и грамотно выражать свои мысли;

Уметь слушать и вступать в диалог;

Уметь работать в паре и индивидуально.

· метапредметные:

Уметь обрабатывать полученную информацию;

Уметь контролировать и оценивать предлагаемые действия;

Уметь адекватно оценивать результаты своей деятельности.

· предметные:

- знать понятия : катет, гипотенуза, площадь квадрата, площадь прямоугольника, радиус, диаметр, хорда, касательная, периметр треугольника;

- уметь решать задачи на нахождение сторон прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формы работы: фронтальная, парная и индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор, таблица квадратов натуральных чисел для каждого обучающегося, набор задач для парной работы и индивидуальной работы.

Структура урока:

1.Инициация, мотивирующее начало урока - 1 мин.

2.Вхождение или погружение в тему урока - 1 мин.

3.Формирование ожиданий и опасений - 1 мин.

4.Актуализация опорных знаний (фронтальная работа) - 7 мин.

5.Проработка содержания темы с последующей проверкой (работа в парах) - 10 мин.

6.Физкультминутка - 2 мин.

7.Проработка содержания темы с последующей проверкой (индивидуальная работа) - 20 мин.

8.Итог урока - 1 мин.

9.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению - 1 мин.

10.Рефлексия - 1 мин.

Ход урока:

I. Инициация, мотивирующее начало урока

Учитель приветствует обучающихся. Добрый день, уважаемые ученики! Если день начинать с улыбки, то можно надеяться, что он пройдет удачно. Давайте сегодняшний урок проведем с улыбкой. Главная задача - быть внимательными, активными и трудолюбивыми. А еще показывать, что мы знаем и как умеем работать.

II. Вхождение или погружение в тему урока

Учитель. Эпиграфом к сегодняшнему уроку можно взять слова самого Пифагора «Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться».

Вы уже знакомы с одной из знаменитейших теорем математики, теоремой Пифагора, и умеете решать некоторые задачи, применяя ее. Какую цель Вы можете поставить сегодняшнему уроку геометрии?

(Обучающиеся формулируют цели урока.)

III. Формирование ожиданий и опасений

Учитель. У Вас на партах лежат «яблоки» и «лимоны» (красные и желтые кружки). На «яблоках» запишите, что вы ожидаете от урока, на «лимонах» - что опасаетесь. Отложите «фрукты» до конца урока.

IV. Актуализация опорных знаний (фронтальная работа)

Учитель. Предлагаю Вам вспомнить основные задачи на применение теоремы Пифагора. Для устного счета вам понадобится таблица квадратов натуральных чисел.

(Работа по слайдам презентации.)

V. Проработка содержания темы с последующей проверкой (парная работа)

1)Учитель. Работая в паре, решите следующие задания. Работу вы будете выполнять в течение 5 минут.

Задачи для 1 варианта

1.1.Лестницу длиной 3,7 м прислонили к дереву. Найдите высоту, на которой находится её верхний конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева
на 1,2 м. Ответ дайте в метрах.

2.1.Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 4 м от земли. Расстояние от основания флагштока
до места крепления троса на земле равно 3 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

3.1.Пожарную лестницу приставили к окну, расположенному на высоте 15 м
от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. Какова длина лестницы? Ответ дайте в метрах.

Задачи для 2 варианта

1.2. Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если её верхний конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м. Ответ дайте в метрах.

2.2. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,6 м от земли. Длина троса равна 3,9 м. Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах.

3.2. Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.

2) Учитель . Проверим решение задач. Приглашаю двух учащихся к доске для объяснения решения задач.

VI. Физкультминутка.

Проводится физкультминутку для глаз.

· И.п. - сидеть в расслабленном состоянии с закрытыми глазами 10 - 15 с.

· И. п. - сидеть с закрытыми глазами. Не открывая глаз, круговые движения глазными яблоками, по 2 - 3 раза в каждую сторону.

· И. п. - сидя. 1 - с напряжением закрыть глаза (зажмурить). 2 - раскрыть глаза и посмотреть вдаль. Повторить 3 - 5 раз. Посидеть с закрытыми глазами 10 - 15 с.

VII. Проработка содержания темы с последующей проверкой (индивидуальная работа)

Задачи

1. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 3 дм.

2. Высота равностороннего треугольника равна 25√3. Найдите его периметр.

3. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли. Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

VIII. Итог урока.

Подвести итог работы на уроке, выставить оценки отвечающим.

IX. Домашнее задание.

Из открытого банка заданий ОГЭ по математике (геометрия) выбрать и решить пять задач на применение теоремы Пифагора.

X. Рефлексия.

Учитель. Что сбылось на уроке: Ваши ожидания или опасения?

(Обучающимся предлагается выбрать фрукт (можно сразу два), и «прикрепить на фруктовое дерево», поднять кружки. По выросшим на дереве фруктам, учитель подводит итог.)

Слайд 2

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора». Иоганн Кеплер

Слайд 3

Закончите предложение:

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равен ____ 90°

Слайд 4

Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются _________ катетами

Слайд 5

Сторона треугольника, лежащая против прямого угла, называется ____________ Закончите предложение: гипотенузой

Слайд 6

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен ____________ Закончите предложение: сумме квадратов катетов

Слайд 7

Сформулированное выше предложение носит название ____________ Теорема Пифагора c² = a² + b²

Слайд 8

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник – ____________ Закончите предложение: прямоугольный

Слайд 9

S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Проведите линии так, чтобы соответствие между фигурой и формулой вычисления её площади было верным S=½ (a +b)h S=½ ab

Слайд 10

Долина устных задач Остров Незнаек Полянка Здоровья Город Мастеров Крепость Формул Историческая тропинка

Слайд 11

Долина устных задач

Слайд 12

Н S Р 12 см 9 см 15 см? Найдите: SP

Слайд 13

К? 12 см 13 cм N М Найдите: КN 5 cм

Слайд 14

В? 8 см 17 см А D С Найдите: АD 15 cм

Слайд 15

Остров Незнаек

Слайд 16

Задача индийского математика XII века Бхаскары "На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал.Бедный тополь упал. И угол прямойС теченьем реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте рекаВ четыре лишь фута была широкаВерхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?"

Слайд 17

Из одной точки на земле отправились в путь автомобиль и самолет. Автомобиль преодолел расстояние 8 км, когда самолет оказался на высоте 6 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта? Задача

Слайд 18

8 км 6 км? км

Слайд 19

Решаем по учебнику задачу № 494(стр. 133)

Слайд 20

Полянка Здоровья

Слайд 21

(580 - 500 г. до н.э.) Пифагор

Слайд 22

Дабы познать науки, Пифагор много путешествовал, в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне он организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так возникла знаменитая «Пифагорейская школа».

Слайд 23

Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.